问题:
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90°+
B
分析:由角平分线的性质与三角形的内角和定理,即可求得①∠BOC=90°+ ∠A正确;又有特殊三角形(等边三角形)的三线合一性质,可得EF可以是△ABC的中位线,确定②错误;然后根据角平分线的性质与面积的求解方法,即可得S △AEF= mn;首先证得△OBE与△OCF是等腰三角形,根据圆与圆的位置关系,即可得以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.继而求得答案.
解答:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=90°+ ∠A;故①正确;
若△ABC是等边三角形,则三线合一,此时EF是△ABC的中位线;故②错误;
连接AO,过点O作OH⊥AB于H,
∴AO是△ABC的角平分线,
∵OD⊥AC,
∴OH=OD=m,
∴S △AEF=S △AOE+S △AOF= AE•OH+ AF•OD= OD•(AE+AF)= mn;故③错误;
④∵EF∥BC,
∴∠OBC=∠BOE,∠FOC=∠OCB,
∵∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴BE=EO,CF=FO,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.故④正确.
故选B.
点评:此题考查了角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,以及圆与圆的位置关系等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90°+
B
分析:由角平分线的性质与三角形的内角和定理,即可求得①∠BOC=90°+ ∠A正确;又有特殊三角形(等边三角形)的三线合一性质,可得EF可以是△ABC的中位线,确定②错误;然后根据角平分线的性质与面积的求解方法,即可得S △AEF= mn;首先证得△OBE与△OCF是等腰三角形,根据圆与圆的位置关系,即可得以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.继而求得答案.
解答:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=90°+ ∠A;故①正确;
若△ABC是等边三角形,则三线合一,此时EF是△ABC的中位线;故②错误;
连接AO,过点O作OH⊥AB于H,
∴AO是△ABC的角平分线,
∵OD⊥AC,
∴OH=OD=m,
∴S △AEF=S △AOE+S △AOF= AE•OH+ AF•OD= OD•(AE+AF)= mn;故③错误;
④∵EF∥BC,
∴∠OBC=∠BOE,∠FOC=∠OCB,
∵∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴BE=EO,CF=FO,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.故④正确.
故选B.
点评:此题考查了角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,以及圆与圆的位置关系等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
解答:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=90°+ ∠A;故①正确;
若△ABC是等边三角形,则三线合一,此时EF是△ABC的中位线;故②错误;
连接AO,过点O作OH⊥AB于H,
∴AO是△ABC的角平分线,
∵OD⊥AC,
∴OH=OD=m,
∴S △AEF=S △AOE+S △AOF= AE•OH+ AF•OD= OD•(AE+AF)= mn;故③错误;
④∵EF∥BC,
∴∠OBC=∠BOE,∠FOC=∠OCB,
∵∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴BE=EO,CF=FO,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.故④正确.
故选B.
点评:此题考查了角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,以及圆与圆的位置关系等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
参考答案: