已知函数 f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)，h(x)=

2(x-1)

x+1

（1）当a=-2时，函数F（x）=f（x）-g（x）在其定义域范围是增函数，求实数b的取值范围；
（2）当x＞1时，证明f（x）＞h（x）成立；
（3）记函数f（x）与g（x）的图象分别是C ₁、C ₂，C ₁、C ₂相交于不同的两点P，Q，过线段PQ的中点R作垂直于x轴的垂线，与C ₁、C ₂分别交于M、N，问是否存在点R，使得曲线C ₁在M处的切线与曲线C ₂在N处的切线平行？若存在，试求出R点的坐标；若不存在，试说明理由．