阅读下列案例材料，然后回答问题。张某因故意杀人被某中级人民法院判处死刑缓期二年执行。上诉期间，被告人没有上诉，检察机关也未提起抗诉。上诉期满后，在高级法院的督促下，该中级人民法院才启动死刑复核程序。复核过程中，合议庭未提审被告人即作出予以核准的裁定。在死刑缓期执行期间，张某因故意犯罪由基层人民法院进行审判，并层报最高人民法院核准执行死刑。请指出本案存在的程序问题，并简要说明理由。