问题：
（数学题）函数与极值问题
已知函数 \( f(x) = x^3 + 2bx^2 + cx - 2 \) 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 \( y = 5x - 10 \)。
(1) 求函数 \( f(x) \) 的解析式；
(2) 设函数 \( g(x) = f(x) + \frac{1}{3}mx \)，若 \( g(x) \) 的极值存在，求实数 \( m \) 的取值范围以及函数 \( g(x) \) 取得极值时对应的自变量 \( x \) 的值。
提问：
请问如何求解函数 \( f(x) \) 的解析式？以及如何确定函数 \( g(x) \) 的极值存在的条件和对应的 \( x \) 值？
复习要点：
重点复习函数的导数、极值点的求解方法以及二次方程的判别式。
查阅资料方向：
查阅高等数学教材中关于函数极值和导数的相关章节。
参考答案：