（本题满分15分）设M是由满足下列条件的函数 构成的集合：“①方程 有实数根；②函数 的导数 满足 ”
（I）证明：函数 是集合M中的元素；
（II）证明：函数 具有下面的性质：对于任意 ，都存在 ，使得等式 成立。 
（III）若集合M中的元素 具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意[m，n] ，都存在 ，使得等式 成立。试用这一性质证明：对集合M中的任一元素 ，方程 只有一个实数根。